狄利克雷函数英语dirichlet function是一个定义在实数范围上值域为不连续的函数狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴狄利克雷函数存在极限，是一个偶函数它处处不连续处处极限不存在不可积分这是一个处处不连续的可测函数实数域上的狄利克雷Dirichlet函数表示为k，j为整数也可以简单地表示分段函数的狄利克雷函数存在极限；狄利克雷函数是什么狄利克雷函数是一个在数学分析中常见的函数，通常表示为 Dx它可以通过以下极限定义 Dx = lim_n o infty lim_m o infty leftcosleftpi m狄利克雷函数存在极限！ x ight ight^n 这个函数也可以表示为分段函数 Dx = 0 quad ext；此外，狄利克雷函数在任何一点都没有极限，处处不连续且不可导更有趣的是，该函数在任何区间内都无法进行黎曼可积，但具备勒贝格可积性此外，存在一些函数在定义区间内处处连续但处处不可导的例子，其中布朗运动的分子轨道是一个典型实例由于分子运动的随机性，狄利克雷函数存在极限我们无法准确判断每一时刻分子的具体速度。

狄利克雷函数是一个定义在实数范围上值域不连续的函数狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分这是一个处处不连续的可测函数狄里克雷函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是任意负有理数和正有理数因为不存在最小负有理数；这意味着无论选择哪个点作为考察对象，狄利克雷函数在该点的极限都不存在总结来说，狄利克雷函数之所以处处不连续，是因为有理数与无理数之间存在无法跨越的界限，这一性质直接导致狄利克雷函数存在极限了函数在任何一点上都不连续这也是为什么狄利克雷函数在数学分析中具有重要地位的原因之一；不连续性无界性等1狄利克雷函数在任何实数点x处都不连续，即对于任意x，Dx的左极限和右极限不存在或不相等2狄利克雷函数在任何实数点x处都无界，即对于任意x，Dx的值可以无限大或无限小；左极限和右极限都存在但不相等 例如fx=x在整数点上，右极限总比左极限大1，左右极限有一个不存在比如fx在x=1时，fx=1，x函数function在数学中是两不为空集的集合间的一种对应关系输入值集合中的每项元素皆能对应唯一一项输出值集合中的元素其定义通常分为传统定义和近代；2 这个函数也可以简单地描述为 fx = 0， 如果 x 是无理数fx = 1， 如果 x 是有理数3 狄利克雷函数定义在实数集上，其值域在整数0和1之间不连续4 该函数的图像关于Y轴对称，表现出偶函数的特性，它在每一点都不连续，极限不存在，并且不能被黎曼积分5 狄利克雷函数是处处不连续但又可测的函数；答案狄利克雷函数在定义域上每一点处极限不存在解释狄利克雷函数Dx定义为Dx = begincases1， text如果 x text 是有理数 0， text如果 x text 是无理数endcases对于任意给定的点x0，无论x0是有理数还是无理数，我们总可以在x0的附近找到有理数和无理数因此。

在某一点两边有无数个有理数和无数个无理数，故其两边的极限值是不确定的，所以某一点的极限值不存在狄利克雷函数的公式定义实数域上的狄利克雷Dirichlet函数表示为k，j为整数也可以简单地表示分段函数的形式Dx= 0x是无理数或1x是有理数狄利克雷函数是一个定义在。

4 该函数在每一点都无极限，不连续，也不可导5 狄利克雷函数在任何闭区间上都不满足黎曼可积的条件6 狄利克雷函数是一个偶函数例如，函数 fx 定义为 当 x 是 rational number有理数时，fx = 1 当 x 是 irrational number无理数时，fx = 0 上述定义；画不出图像 处处没有极限 处处不连续 这是一个有界函数 其实也可以勉强画出它的图像，在宏观角度下看 但实际上它的图像不是正真连续的直线，在微观上看，这两条直线应该充满了许多的小洞，因为实数是由有理数，无理数才可以铺满它所以狄利克雷函数并不是连续函数连续函数的定义需满足1在；狄利克雷函数任一点的单侧极限也是不存在的，证明和双侧极限不存在的证明一样在一点a极限存在是意味着当x不管用什么方式趋向a时对应的函数值都趋向同一个常数那么如果a是有理数时a+1n也是有理数，D氏函数在这些点上的值Da+1n=0，当n趋向无穷时，a+1n趋向a，对应的D氏函数趋向0。

狄利克雷函数 极限在定义域R上的每一点，狄利克雷函数的极限都不成立 连续性由于极限的不存在，狄利克雷函数在R上是不连续的 可导性由于极限的缺失，狄利克雷函数无法满足导数的定义，因此它是不可导的黎曼函数 极限虽然黎曼函数的极限性质相对复杂，但在其定义域上的每个点，关于；由于有理数和无理数的稠密性，狄利克雷函数在任意一点的左右极限都不存在因为无论我们选择一个多么小的邻域，该邻域内都既有有理数又有无理数图像表示严格来说，狄利克雷函数的图像很难用传统的线条来表示，因为它处处不连续但如果非要画出图像，可以想象两条平行于X轴的直线y=1和y=0。