区别 研究对象不同微分几何的研究对象是一般的微分流形黎曼几何，这是一个广泛的范畴黎曼几何，涵盖了各种维度的弯曲空间而黎曼几何的研究对象是黎曼流形黎曼几何，这是一种特殊的微分流形，要求流形上存在黎曼联络，即定义了度量张量，使得可以测量长度面积和体积等几何量 范围与复杂性黎曼几何的范围相对微分几何更窄。

黎曼几何黎曼流形上的几何学德国数学家黎曼19世纪中期提出的几何学理论1854年黎曼在格丁根大学发表的题为论作为几何学基础的假设的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体他首先发展了空间的。

学习黎曼几何需要扎实的数学基础和循序渐进的规划以下是一个系统化的学习路径和方法建议，分为不同阶段和关键要点一必要的前置知识 1 微积分与线性代数 熟练掌握多元微积分尤其是微分形式链式法则和矩阵运算2 微分几何基础 曲线与曲面理论理解曲率法向量第一第二基本形式流形。

黎曼几何是定义在黎曼流形上的几何学一定义传统的解析几何或微分几何主要研究二维或三维欧氏空间上的几何体，其中欧氏空间的内积是恒定不变的，因此空间中各位置和各方向的度量也是恒定的然而，黎曼几何则突破了这一限制，它允许空间中的每个点和每个方向的度量不再恒定具体来说，设$M$是一个$n$维光滑流形，如果在$M$上构造。

黎曼论奠定几何学基础的假设，主要是关于流形和数的几何化解释以下是对这一假设的详细阐述一流形概念的起源与扩展 黎曼几何的核心在于流形概念，而流形概念的最初起源可以追溯到一维的自然数1从自然数1开始，逐步推广到高维，形成了流形的概念在这个过程中，不仅自然数被假设为点，而且有理数。

黎曼几何研究的是是一个弯曲的空间 直线并不是我们现在通常的直线 比如在球面几何上，两条经线是平行的，但是直观上他们却是相交的黎曼几何是德国数学家黎曼创立的他在1851年所作的一篇论文论几何学作为基础的假设中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域黎曼几何中。